1. Nombres et calculs#
1.1. Priorités opératoires#
Règle. Dans un calcul, on effectue dans l'ordre : 1. les calculs entre parenthèses (en commençant par les plus intérieures) ; 2. les multiplications et divisions, de gauche à droite ; 3. les additions et soustractions, de gauche à droite.
$5{,}5 + 6 \times 2{,}4 = 5{,}5 + 14{,}4 = 19{,}9$ (la multiplication d'abord). $12 - (5{,}3 + 3{,}8) = 12 - 9{,}1 = 2{,}9$ (la parenthèse d'abord).
Une expression comme « ajouter 3, puis multiplier par 9, puis enlever 5 » appliquée à un nombre se traduit avec des parenthèses : $(n+3)\times 9 - 5$.
1.2. Les nombres relatifs (addition et soustraction)#
Un nombre relatif est un nombre positif ou négatif (ex. $-3$ ; $+4{,}2$). L'opposé d'un nombre est le nombre de même distance à zéro mais de signe contraire : l'opposé de $-5$ est $+5$.
Addition de deux relatifs. - Mêmes signes : on additionne les distances à zéro, on garde le signe commun. $(-3) + (-4) = -7$. - Signes différents : on soustrait les distances à zéro, on garde le signe de celui qui est le plus loin de zéro. $(-9) + (+6) = -3$.
$$\text{Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.}$$ $$a - b = a + (\text{opposé de } b)$$
$-12 - (-2) = -12 + 2 = -10$. De même $4 - 9 = 4 + (-9) = -5$.
$-5{,}6 - 3$ signifie $-5{,}6 + (-3) = -8{,}6$. Le « $-3$ » enlève encore.
1.3. Les fractions#
Une fraction est un nombre. $\dfrac{a}{b}$ est le quotient de $a$ par $b$ (avec $b \neq 0$).
Écritures décimale / fractionnaire. On passe de l'une à l'autre : $$2{,}5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} \qquad ; \qquad \frac{23}{100} = 0{,}23.$$
Fractions égales. On ne change pas un quotient en multipliant (ou divisant) numérateur et dénominateur par un même nombre non nul : $$\frac{a}{b} = \frac{a\times k}{b\times k}.$$ C'est ce qui permet de simplifier : $\dfrac{12}{39} = \dfrac{4\times 3}{13\times 3} = \dfrac{4}{13}$.
Comparer des fractions (dénominateurs égaux ou multiples). On met au même dénominateur, puis on compare les numérateurs. $$\frac{1}{3} \text{ et } \frac{5}{6} : \quad \frac{1}{3}=\frac{2}{6} \;<\; \frac{5}{6}.$$
Additionner / soustraire (dénominateurs égaux ou multiples). Même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs : $$\frac{11}{9} - \frac{1}{3} = \frac{11}{9} - \frac{3}{9} = \frac{8}{9}.$$
Lien avec proportions et pourcentages. Prendre $20\%$ d'un nombre, c'est le multiplier par $\dfrac{20}{100}=0{,}2$. Calculer $20\%$ de $70$ € : $\dfrac{20}{100}\times 70 = 14$ €.
1.4. Divisibilité et nombres premiers#
Division euclidienne. Pour $147$ par $16$ : $147 = 16\times 9 + 3$. Le quotient est $9$, le reste est $3$ (et $0 \le \text{reste} < 16$).
Multiple / diviseur. $56$ est un multiple de $14$ car $56 = 14\times 4$ ; on dit aussi que $14$ est un diviseur de $56$.
Critères de divisibilité. Un entier est divisible par : - 2 si son chiffre des unités est $0,2,4,6,8$ ; - 5 si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ ; - 10 si son chiffre des unités est $0$ ; - 3 si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ ; - 9 si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.
Nombre premier. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Les nombres premiers inférieurs à 30 : $$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29.$$ (Remarque : $1$ n'est pas premier.)
Décomposition en facteurs premiers. On écrit un entier comme produit de nombres premiers : $$84 = 2\times 2\times 3\times 7 = 2^2\times 3\times 7.$$ Cela sert à simplifier une fraction : $\dfrac{153}{85}=\dfrac{9\times 17}{5\times 17}=\dfrac{9}{5}$.
1.5. Le calcul littéral (initiation)#
Conventions d'écriture. On supprime le signe $\times$ devant une lettre ou une parenthèse : $$a\times 2 = 2a \quad;\quad a\times b = ab \quad;\quad a\times a = a^2 \quad;\quad a\times a\times a = a^3.$$
Distributivité simple (pour réduire). Quand deux termes ont la même lettre, on les regroupe : $$5{,}2x + 3{,}4x = (5{,}2+3{,}4)x = 8{,}6x.$$
Produire une expression / un programme de calcul. « Choisir un nombre, lui ajouter 2, multiplier par 3, enlever 6 » se traduit, pour un nombre $n$, par : $$(n+2)\times 3 - 6 = 3n + 6 - 6 = 3n.$$
Utiliser une lettre pour démontrer. Un entier quelconque s'écrit $n$ ; le suivant $n+1$ ; un nombre pair $2n$ ; un multiple de 3 $3n$. Exemple : trois entiers consécutifs $n$, $n+1$, $n+2$ ont pour somme $3n+3 = 3(n+1)$, donc un multiple de 3.
Substituer (remplacer la lettre par un nombre). Pour $a=8$ : $7a = 7\times 8 = 56$ et $a+17 = 25$.
Pour montrer que $4+3x$ et $7x$ ne sont pas toujours égales, il suffit d'un contre-exemple : pour $x=1$, $4+3 = 7$ mais $7\times 1 = 7$… égalité ici ; pour $x=2$, $4+6=10$ et $7\times 2 = 14$ : différent. Donc les expressions ne sont pas égales en général.
2. Organisation et gestion de données, fonctions#
2.1. Proportionnalité, ratios, pourcentages, échelles#
Situation de proportionnalité. Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre (le coefficient de proportionnalité). Proportionnel : côté et périmètre d'un carré, masse et prix d'une denrée. Non proportionnel : côté et aire d'un carré, âge et taille.
Procédures utiles. - Passage à l'unité : on calcule la valeur pour 1, puis on multiplie. - Coefficient : on cherche le nombre par lequel on multiplie. - Additivité / homogénéité : $a$ pour $b$, donc $2a$ pour $2b$, etc.
Ratio (partage). Partager $10$ € selon le ratio $2:3$ : il y a $2+3 = 5$ parts, donc une part vaut $10\div 5 = 2$ € ; on obtient $4$ € et $6$ €.
Pourcentages. Appliquer $t\%$ : multiplier par $\dfrac{t}{100}$. Une remise de $25\%$ sur $80$ € : $80 \times \dfrac{25}{100}=20$ € de remise, prix payé $60$ €.
Échelle. L'échelle d'une carte est le coefficient de proportionnalité entre distance sur la carte et distance réelle (mêmes unités). Échelle $\dfrac{1}{10\,000}$ : $1$ cm sur la carte $=10\,000$ cm $=100$ m en réalité.
2.2. Statistiques#
Vocabulaire. Une série de données ; chaque valeur a un effectif (nombre de fois où elle apparaît). L'effectif total est le nombre total de données.
Fréquence d'une valeur : $$\text{fréquence} = \frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}.$$ Elle s'exprime en fraction, en décimal ou en pourcentage.
Moyenne. - Simple : on additionne toutes les valeurs et on divise par leur nombre. - Pondérée (avec un tableau d'effectifs) : $$\bar{x} = \frac{(\text{valeur}_1\times \text{eff}_1) + (\text{valeur}_2\times \text{eff}_2)+\dots}{\text{effectif total}}.$$
Représentations. Tableau d'effectifs, diagramme en bâtons, diagramme circulaire ou semi-circulaire, graphique. On sait lire et construire chacune.
2.3. Probabilités#
Vocabulaire. Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles (les issues) dont on ne connaît pas à l'avance le résultat (lancer un dé, tirer une boule…).
Échelle des probabilités. Une probabilité est un nombre entre $0$ (impossible) et $1$ (certain). On place les événements sur cette échelle.
Équiprobabilité. Si toutes les issues ont la même chance : $$P(\text{événement}) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}.$$ Exemple : tirer une boule verte dans une urne de $3$ vertes et $4$ jaunes : $P = \dfrac{3}{7}$.
2.4. Notion de fonction (première approche)#
Dépendance de deux grandeurs. Quand une grandeur dépend d'une autre, on peut décrire le lien par une formule ou un tableau de valeurs. Exemple : l'aire d'un carré dépend de son côté $c$ par la formule $\mathcal{A}=c^2$ ; on remplit un tableau côté → aire.
3. Grandeurs et mesures#
3.1. Périmètres et aires des figures usuelles#
| Figure | Périmètre | Aire |
|---|---|---|
| Rectangle (Longueur $L$, largeur $\ell$) | $2(L+\ell)$ | $L\times \ell$ |
| Triangle (base $b$, hauteur $h$) | somme des 3 côtés | $\dfrac{b\times h}{2}$ |
| Parallélogramme (base $b$, hauteur $h$) | somme des côtés | $b\times h$ |
| Disque (rayon $r$) | $2\pi r$ | $\pi r^2$ |
Pour un assemblage de figures, on découpe en figures connues puis on additionne (ou soustrait) les aires.
3.2. Volumes#
| Solide | Volume |
|---|---|
| Pavé droit (dimensions $L,\ \ell,\ h$) | $L\times \ell\times h$ |
| Prisme droit (aire de base $\mathcal{B}$, hauteur $h$) | $\mathcal{B}\times h$ |
| Cylindre (rayon $r$, hauteur $h$) | $\pi r^2\times h$ |
Une longueur en cm, une aire en cm², un volume en cm³. Un cube de $3$ cm de côté a pour volume $3^3 = 27$ cm³ (pas cm²).
3.3. Durées, conversions, contenances#
Durées. $1$ h $= 60$ min, $1$ min $= 60$ s. Connaissant deux infos parmi heure de départ / heure d'arrivée / durée, on retrouve la troisième. Exemple : $2{,}8$ h $= 2$ h $+ 0{,}8\times 60$ min $= 2$ h $48$ min.
Conversions de longueurs/aires/volumes. Un tableau de conversion par colonne. Rappel : pour les aires, chaque rang vaut $\times 100$ d'une unité à l'autre ; pour les volumes, $\times 1000$.
Contenances. $$1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3 \qquad ; \qquad 1\,000\ \text{L} = 1\ \text{m}^3.$$
3.4. Effet des symétries et échelle#
Symétries (axiale et centrale). Elles conservent : les longueurs, les mesures d'angles et le parallélisme. On s'en sert pour calculer des longueurs/angles, ou pour prouver que deux droites sont parallèles.
4. Espace et géométrie#
4.1. Repérage, solides, perspective et patrons#
Repérage. On repère un point sur une droite graduée par son abscisse, et dans le plan par un couple de coordonnées $(x\,;\,y)$ dans un repère orthogonal. Les coordonnées peuvent être des nombres relatifs.
Solides à reconnaître. Pavé droit, cube, cylindre, prisme droit, pyramide, cône, boule.
Perspective cavalière et patron. On sait passer d'une représentation en perspective cavalière à un patron (et inversement) pour le pavé droit et le cylindre.
4.2. Angles et parallélisme#
Angles particuliers de deux droites coupées par une sécante. - Angles alternes-internes : situés de part et d'autre de la sécante, entre les deux droites. - Angles correspondants : même position par rapport à la sécante et à chaque droite.
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles forment avec une sécante des angles alternes-internes égaux (ou des angles correspondants égaux).
4.3. Triangles#
Somme des angles. Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut $180°$. Exemple : angles de $130°$ et $30°$ → le troisième vaut $180-130-30 = 20°$.
Inégalité triangulaire. Un triangle est constructible avec trois longueurs si et seulement si la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres.
Hauteurs. Une hauteur d'un triangle est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. (Définition à connaître ; les hauteurs servent au calcul d'aire.)
4.4. Parallélogramme et médiatrice#
Parallélogramme. Quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Propriétés : côtés opposés de même longueur, diagonales qui se coupent en leur milieu, angles opposés égaux. Ces propriétés servent à construire et à démontrer.
Médiatrice. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu. C'est l'ensemble des points équidistants des deux extrémités.
4.5. Symétrie centrale, frises et pavages#
Symétrie centrale. Le symétrique d'un point $M$ par rapport à un centre $O$ est le point $M'$ tel que $O$ soit le milieu de $[MM']$. On sait construire le symétrique d'un point, d'un segment, d'une droite, d'un cercle, d'une figure.
Pour construire le symétrique $M'$ d'un point $M$ par rapport à $O$ : (1) tracer la demi-droite $[MO)$ ; (2) reporter au-delà de $O$ la même longueur ($OM' = OM$). Pour une figure, on construit le symétrique de chaque sommet, puis on relie les images dans le même ordre.
Lien avec le parallélogramme. $ABCD$ est un parallélogramme exactement quand $A$ et $C$ (resp. $B$ et $D$) sont symétriques par rapport au centre des diagonales.
Frises, pavages, rosaces. On sait identifier les symétries (axiales ou centrales) présentes dans un motif répété.
5. Algorithmique et programmation#
(Niveau 1 attendu en fin de 5ᵉ — logiciel type Scratch.)
Ce que tu sais faire. - Réaliser un algorithme « débranché » (sans ordinateur) : décrire un déplacement ou un calcul par une suite d'instructions. - Mettre en ordre / compléter des blocs pour obtenir un programme simple. - Écrire un script de déplacement ou de construction géométrique utilisant : - des instructions conditionnelles (« si … alors … ») ; - la boucle « répéter … fois ».
Pour tracer un carré de côté $100$ pixels :
répéter 4 fois
avancer de 100
tourner de 90 degrés
La boucle évite de réécrire 4 fois les mêmes instructions.
Mot de la fin — cap sur la 4ᵉ#
En 4ᵉ, chacune de ces briques va se prolonger : - les relatifs gagnent la multiplication et la division ; - les fractions, toutes les opérations ; - le calcul littéral apprend à développer et factoriser, puis à résoudre des équations ; - les symétries laissent place à la translation ; - et la géométrie s'ouvre à deux théorèmes majeurs : Pythagore et le cosinus.
Si une fiche t'a paru floue, c'est le moment idéal de la retravailler : tout ce qui suit s'appuie dessus.
Bon courage !