1Nombres relatifs : multiplication et division#

1. D'où l'on part#

En 5ᵉ, tu as appris à additionner et soustraire des nombres relatifs. Cette année, on complète : il faut savoir multiplier et diviser des nombres positifs ou négatifs. Une fois cette « règle des signes » maîtrisée, tu pourras calculer dans tous les chapitres qui suivent (calcul littéral, équations, Pythagore…). C'est une fondation.

2. La règle des signes#

Propriété (produit de deux relatifs)

$\times$	un nombre positif	un nombre négatif
positif	positif $(+)$	négatif $(-)$
négatif	négatif $(-)$	positif $(+)$

Autrement dit, à retenir absolument : $$\boxed{(+)\times(+) = +\qquad (-)\times(-) = +\qquad (+)\times(-) = -\qquad (-)\times(+) = -}$$

En une phrase

deux nombres de même signe donnent un produit positif ; deux nombres de signes contraires donnent un produit négatif.

Méthode pour calculer un produit

1. Je détermine d'abord le signe du résultat (règle des signes). 2. Je calcule ensuite le produit des distances à zéro (comme si tout était positif). 3. Je rassemble signe + valeur.

Exemple rédigé

Calculer $-2{,}5 \times (-4)$. - Signes contraires ? Non, deux négatifs → résultat positif. - Produit des distances : $2{,}5 \times 4 = 10$. - Donc $-2{,}5 \times (-4) = +10 = 10$.

Autres exemples

$$-7\times 3 = -21\qquad 2{,}4\times(-0{,}5) = -1{,}2 \qquad (-6)\times(-1{,}5) = 9.$$

3. Produit de plusieurs facteurs#

Quand il y a plusieurs facteurs, on compte les facteurs négatifs :

Propriété

Un produit de facteurs non nuls est - positif s'il y a un nombre pair de facteurs négatifs ; - négatif s'il y a un nombre impair de facteurs négatifs.

Exemple rédigé

Quel est le signe de $(-6{,}7)\times 7\times(-1{,}24)\times(-0{,}7)$ ? On compte trois facteurs négatifs (impair) → le produit est négatif. (On peut ensuite le calculer à la calculatrice si on veut sa valeur.)

4. La division#

La règle des signes pour le quotient est la même que pour le produit.

$$\dfrac{(+)}{(+)} = + \qquad \dfrac{(-)}{(-)} = + \qquad \dfrac{(+)}{(-)} = - \qquad \dfrac{(-)}{(+)} = -$$

Exemples

$$-12{,}8 \div 2 = -6{,}4 \qquad -63 \div (-0{,}7) = 90 \qquad 7{,}2 \div (-5) = -1{,}44.$$

5. Pièges à éviter#

• Ne pas confondre avec l'addition ! $(-3)+(-4) = -7$ (somme), mais $(-3)\times(-4) = +12$ (produit). Les règles sont différentes.
• $-(-5)$ vaut $+5$ : « l'opposé de l'opposé ».
• Un signe « moins » devant une parenthèse change tout à l'intérieur : $-(a-b) = -a+b$. (On y reviendra au chapitre 5.)

Checkpoint 1

Entraîne-toi avec les exercices 1.1 à 1.4 du fichier 4e_exercices.html (calculs de produits/quotients, signe d'un produit, petit problème).

S’entraîner — exercices 1.1 à 1.4

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2Calcul fractionnaire (toutes les opérations)#

1. D'où l'on part#

En 5ᵉ, tu additionnais et soustrayais des fractions quand les dénominateurs étaient égaux ou multiples l'un de l'autre. Cette année, on lève toutes les restrictions : on additionne, soustrait, multiplie et divise des fractions avec n'importe quels dénominateurs, et en tenant compte des signes (nombres rationnels).

Définition

Un nombre rationnel est un quotient $\dfrac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs et $b \neq 0$. Attention : le quotient de deux décimaux n'est pas toujours décimal (par exemple $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$) — la fraction est alors la seule écriture exacte.

2. Addition et soustraction#

Méthode

Pour additionner ou soustraire deux fractions : 1. on les écrit avec le même dénominateur (un multiple commun aux deux) ; 2. on additionne (ou soustrait) les numérateurs, en gardant le dénominateur commun ; 3. on simplifie le résultat si possible.

Exemple rédigé

$\dfrac{5}{3} + \dfrac{2}{7}$. Dénominateur commun : $3\times 7 = 21$. $$\frac{5}{3} + \frac{2}{7} = \frac{5\times 7}{21} + \frac{2\times 3}{21} = \frac{35}{21} + \frac{6}{21} = \frac{41}{21}.$$

Avec un entier. Un entier s'écrit en fraction de dénominateur $1$ : $$\frac{8}{5} - 7 = \frac{8}{5} - \frac{35}{5} = -\frac{27}{5}.$$

3. Multiplication#

C'est l'opération la plus simple : pas besoin de même dénominateur.

Propriété

$$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d} = \frac{a\times c}{b\times d}.$$

Astuce gain de temps

on simplifie avant de multiplier, c'est plus rapide et les nombres restent petits.

Exemple rédigé

$\dfrac{3}{5}\times \dfrac{1}{6}$. $$\frac{3}{5}\times \frac{1}{6} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}\qquad\text{(ou en simplifiant le }3\text{ et le }6\text{ par }3\text{ avant : }\frac{1}{5}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{10}).$$

4. Inverse et division#

Définition

L'inverse d'un nombre $\dfrac{a}{b}$ (avec $a \neq 0$) est $\dfrac{b}{a}$. Un nombre multiplié par son inverse donne $1$ : $\dfrac{a}{b}\times \dfrac{b}{a} = 1$. Exemples : l'inverse de $\frac{3}{4}$ est $\frac{4}{3}$ ; l'inverse de $5 = \frac{5}{1}$ est $\frac{1}{5}$.

Propriété (division)

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\times \frac{d}{c}.$$

Exemple rédigé

$\dfrac{5}{9} \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{9}\times \dfrac{2}{1} = \dfrac{10}{9}.$

5. Signe d'une fraction#

Le signe « moins » peut se placer où on veut : $$\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}.$$ On écrit en général le signe devant la fraction.

6. Enchaînements et priorités#

Les priorités opératoires restent valables. Exemple rédigé. $$\frac{7}{6}\times \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{7}{6}\times \left(\frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right) = \frac{7}{6}\times \frac{1}{6} = \frac{7}{36}.$$ (On calcule d'abord la parenthèse, puis le produit.)

7. Pièges à éviter#

• Pour additionner, il faut le même dénominateur ; pour multiplier, non ! On multiplie « en ligne » numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux.
• $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} \neq \dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}$ : il faut inverser la deuxième fraction.
• On n'oublie pas de simplifier la réponse finale.

Checkpoint 2

Fais les exercices 2.1 à 2.4 du fichier d'exercices (les quatre opérations, un calcul avec parenthèses, un petit problème de fractions).

S’entraîner — exercices 2.1 à 2.4

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3Puissances et notation scientifique#

1. D'où l'on part#

Comment écrire (et lire) des nombres gigantesques comme la distance Terre–Soleil ($150$ milliards de mètres) ou minuscules comme la taille d'un atome ($0{,}000\,000\,000\,1$ m) sans se perdre dans les zéros ? Les puissances de 10 et la notation scientifique servent exactement à cela. On découvre aussi les puissances pour raccourcir l'écriture de produits.

2. Puissance d'un nombre#

Définition

Pour un nombre $a$ et un entier $n \geq 1$ : $$a^n = \underbrace{a\times a\times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}.$$ On lit « $a$ exposant $n$ » (ou « $a$ puissance $n$ »). On pose aussi $a^1 = a$ et, par convention, $a^0 = 1$ (pour $a\neq 0$).

Exemple

$7\times 7\times 7\times 7\times 7 = 7^5$. La puissance raccourcit l'écriture d'un produit de facteurs égaux.

3. Puissances de 10#

Propriété (exposants positifs)

$10^n$ s'écrit avec un $1$ suivi de $n$ zéros. $$10^1 = 10,\quad 10^2 = 100,\quad 10^4 = 10\,000.$$

Propriété (exposants négatifs)

Pour $n \geq 1$ : $$10^{-n} = \frac{1}{10^n} = 0{,}\underbrace{0\cdots0}_{n-1}1.$$ $$10^{-1} = 0{,}1,\quad 10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001.$$

4. Les préfixes (du nano au giga)#

Ces préfixes (utilisés en physique, en informatique…) correspondent à des puissances de 10 :

Exemples

$3$ microlitres $= 3\times 10^{-6}$ L ; $7$ mégamètres $= 7\times 10^{6}$ m.

5. La notation scientifique#

Définition

La notation scientifique d'un nombre est l'écriture $$a \times 10^{n}$$ où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \leq a < 10$ (un seul chiffre non nul avant la virgule) et $n$ un entier relatif.

Méthode

On déplace la virgule pour n'avoir qu'un chiffre non nul devant elle, et on compte de combien de rangs on l'a déplacée (c'est $n$).

Exemples rédigés

$$3\,900\,000\,000 = 3{,}9 \times 10^{9}\qquad\text{(virgule déplacée de 9 rangs vers la gauche).}$$ $$0{,}000\,783 = 7{,}83 \times 10^{-4}\qquad\text{(virgule déplacée de 4 rangs vers la droite : exposant négatif).}$$

6. À quoi ça sert : comparer et estimer#

• Comparer de très grands (ou très petits) nombres : on compare d'abord les exposants ; à exposant égal, on compare les nombres $a$.
• Ordres de grandeur : on associe à un objet une puissance de 10 (taille d'un atome $\approx 10^{-10}$ m, d'une bactérie $\approx 10^{-6}$ m, distance Terre–Lune $\approx 3{,}8\times 10^{8}$ m).

Bon à savoir

Les « formules » sur les produits ou quotients de puissances ne sont pas un attendu à mémoriser en 4ᵉ. En cas de besoin, on revient à la définition (on réécrit le produit de facteurs). Par exemple : $10^2 \times 10^3 = (10\times 10)\times(10\times 10\times 10) = 10^5$.

7. Pièges à éviter#

• En notation scientifique, le nombre $a$ doit vérifier $1\le a<10$ : $42\times 10^{3}$ n'est pas une notation scientifique correcte (il faut écrire $4{,}2\times 10^{4}$).
• $10^{-3}$ est un nombre positif ($0{,}001$) : un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif, il le rend petit.

Checkpoint 3

Exercices 3.1 à 3.4 du fichier d'exercices (puissances, conversions avec préfixes, notation scientifique, comparaison/ordre de grandeur).

S’entraîner — exercices 3.1 à 3.4

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4Divisibilité et nombres premiers#

1. D'où l'on part#

En 5ᵉ, tu reconnaissais déjà les multiples et les diviseurs, et tu connaissais les nombres premiers inférieurs à 30. Cette année, on va plus loin : on apprend à décomposer n'importe quel nombre en un produit de nombres premiers. C'est l'outil idéal pour simplifier les fractions sans tâtonner.

2. Rappel : la division euclidienne#

Définition

Diviser $a$ par $b$ (avec $b\neq 0$), c'est trouver le quotient $q$ et le reste $r$ tels que : $$a = b\times q + r \qquad\text{avec}\qquad 0 \leq r < b.$$

On dit que $b$ divise $a$ (ou que $a$ est un multiple de $b$) lorsque le reste est nul.

Exemple

$47 = 6\times 7 + 5$ : le quotient est $7$, le reste $5$. Donc $6$ ne divise pas $47$. En revanche $42 = 6\times 7 + 0$ : $6$ divise $42$.

3. Critères de divisibilité (à connaître)#

Exemple

$531$ : somme des chiffres $5+3+1 = 9$, divisible par $9$ (et par $3$). Donc $531$ est divisible par $9$.

4. Les nombres premiers#

Définition

Un nombre entier est premier lorsqu'il possède exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Attention

$1$ n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur). Le plus petit nombre premier est $2$ ; c'est aussi le seul nombre premier pair.

Les nombres premiers inférieurs à 100 (à savoir retrouver) : $$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,$$ $$53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71,\ 73,\ 79,\ 83,\ 89,\ 97.$$

Comment savoir si un nombre est premier ? On teste la divisibilité par les nombres premiers successifs ($2$, puis $3$, puis $5$, $7$…) tant que le diviseur testé, multiplié par lui-même, ne dépasse pas le nombre. Exemple : $97$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, ni par $7$ (et $11\times 11 = 121 > 97$) : il est premier.

5. Décomposer en produit de facteurs premiers#

Méthode

On divise le nombre par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le quotient, jusqu'à obtenir $1$.

Exemple rédigé

Décomposer $360$.

Division	Résultat
$360 \div 2$	$180$
$180 \div 2$	$90$
$90 \div 2$	$45$
$45 \div 3$	$15$
$15 \div 3$	$5$
$5 \div 5$	$1$

On rassemble les diviseurs : $$360 = 2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5 = 2^{3}\times 3^{2}\times 5.$$ (Vérification : $8\times 9\times 5 = 360$.)

6. Application reine : simplifier une fraction#

Une fraction est irréductible lorsqu'on ne peut plus simplifier son numérateur et son dénominateur par un même nombre (autre que $1$).

Méthode

On décompose le numérateur et le dénominateur, puis on barre les facteurs communs.

Exemple rédigé

Rendre $\dfrac{84}{360}$ irréductible. $$84 = 2^{2}\times 3\times 7 \qquad 360 = 2^{3}\times 3^{2}\times 5.$$ $$\frac{84}{360} = \frac{2^{2}\times 3\times 7}{2^{3}\times 3^{2}\times 5} = \frac{7}{2\times 3\times 5} = \frac{7}{30}.$$ (On a simplifié par $2^2\times 3 = 12$.) La fraction $\dfrac{7}{30}$ est irréductible.

7. Pièges à éviter#

• Ne pas confondre diviseur (un nombre qui divise) et multiple (un nombre obtenu en multipliant) : $3$ est un diviseur de $12$ ; $12$ est un multiple de $3$.
• $1$ n'est pas premier ; $2$ est premier. Ce sont les deux erreurs les plus fréquentes.
• Pour une décomposition, on n'utilise que des nombres premiers comme diviseurs (jamais $4$, $6$, $9$…).

Checkpoint 4

Exercices 4.1 à 4.4 du fichier d'exercices (critères, nombres premiers ≤ 100, décomposition, fraction irréductible).

S’entraîner — exercices 4.1 à 4.4

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5Calcul littéral : développer, factoriser, réduire#

1. D'où l'on part#

En 5ᵉ, tu utilisais déjà des lettres et tu savais regrouper $3x + 5x = 8x$. En 4ᵉ, on ajoute deux gestes essentiels : développer (supprimer des parenthèses) et factoriser (en faire apparaître). Ces techniques sont le cœur du calcul algébrique et serviront partout, notamment pour les équations.

2. Le vocabulaire des expressions#

Une expression littérale est faite de termes (séparés par $+$ ou $-$) et de facteurs (multipliés entre eux). - Dans $5x + 3$, il y a deux termes : $5x$ et $3$. - Dans $5\times x$, il y a deux facteurs : $5$ et $x$.

Conventions d'écriture. On n'écrit pas le signe $\times$ devant une lettre ou une parenthèse : $5\times x$ s'écrit $5x$ ; $a\times b$ s'écrit $ab$ ; $2\times(x+1)$ s'écrit $2(x+1)$. On écrit aussi $x\times x = x^2$.

3. Réduire une expression#

Réduire, c'est regrouper les termes « de même nature » : les termes en $x$ ensemble, les nombres seuls ensemble.

Exemple rédigé

Réduire $3x + 5 + 2x - 1$. $$3x + 2x = 5x \qquad 5 - 1 = 4 \qquad\Rightarrow\qquad 3x + 5 + 2x - 1 = 5x + 4.$$

À noter

On ne peut pas réduire $5x + 4$ davantage : $5x$ et $4$ ne sont pas de même nature (l'un dépend de $x$, l'autre non).

4. Développer (la distributivité)#

Propriété (simple distributivité)

Pour tous nombres $k$, $a$, $b$ : $$\boxed{k(a+b) = ka + kb} \qquad\text{et}\qquad \boxed{k(a-b) = ka - kb}.$$

Méthode

On multiplie le facteur de devant par chaque terme de la parenthèse.

Exemples rédigés

$$5(2x+3) = 5\times 2x + 5\times 3 = 10x + 15.$$ $$-3(x-4) = -3\times x - 3\times(-4) = -3x + 12.$$

Vigilance sur les signes

: devant un $-$, l'erreur est facile. Repère bien que $-3\times(-4) = +12$.

5. Factoriser (l'opération inverse)#

Factoriser, c'est faire apparaître un facteur commun à tous les termes, puis le mettre devant une parenthèse. C'est exactement l'égalité précédente, lue de droite à gauche : $$ka + kb = k(a+b).$$

Méthode

On repère le plus grand facteur commun aux termes, on le « sort », et on écrit ce qui reste entre parenthèses.

Exemples rédigés

$$6x + 9 = 3\times 2x + 3\times 3 = 3(2x+3).$$ $$14x - 21 = 7\times 2x - 7\times 3 = 7(2x-3).$$ (Vérification possible en développant : $3(2x+3) = 6x+9$. On retombe bien sur l'expression de départ.)

6. Tester une valeur, comparer deux programmes de calcul#

Tester, c'est remplacer la lettre par un nombre et calculer.

Exemple

Pour $x = 2$ : $\ 10x + 15 = 10\times 2 + 15 = 35$.

Deux expressions sont égales (on dit parfois que deux programmes de calcul sont équivalents) si elles donnent le même résultat pour toutes les valeurs. Développer ou factoriser permet de le prouver : $$5(2x+3) \quad\text{et}\quad 10x+15 \quad\text{sont égales, car développer la première donne la seconde.}$$ (Vérification numérique pour $x=2$ : $5\times 7 = 35$ et $10\times 2 + 15 = 35$. ✓)

7. Pièges à éviter#

• $5(2x+3) \neq 10x + 3$ : il faut multiplier aussi le $3$. Tous les termes de la parenthèse sont concernés.
• On ne peut additionner que des termes de même nature : $3x + 2$ ne fait pas $5x$.
• $x \times x = x^2$, mais $x + x = 2x$ : produit et somme ne donnent pas la même chose.

Checkpoint 5

Exercices 5.1 à 5.4 du fichier d'exercices (réduire, développer, factoriser, prouver l'égalité de deux expressions).

S’entraîner — exercices 5.1 à 5.4

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6Équations du premier degré#

1. D'où l'on part#

Souvent, un problème revient à chercher un nombre inconnu vérifiant une condition. Plutôt que de tâtonner, on traduit la condition par une équation, puis on la résout avec une méthode sûre. C'est l'un des outils les plus puissants du collège.

2. Le vocabulaire#

Définitions

- Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu, désigné par une lettre (souvent $x$) : par exemple $3x + 5 = 17$. - Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie. - Une telle valeur s'appelle une solution.

Vérifier qu'un nombre est solution : on remplace $x$ par ce nombre dans les deux membres et on regarde s'ils sont égaux. Pour $x = 4$ : membre de gauche $3\times 4 + 5 = 17$, membre de droite $17$. Égaux : $4$ est bien solution.

3. Les deux règles d'or#

Pour transformer une équation sans changer ses solutions, on a le droit de :

Règle 1

Ajouter (ou soustraire) un même nombre aux deux membres.

Règle 2

Multiplier (ou diviser) les deux membres par un même nombre non nul.

Idée intuitive : une équation est comme une balance en équilibre. Tant qu'on fait la même chose des deux côtés, l'équilibre est conservé.

4. Méthode de résolution#

1. On regroupe les termes en $x$ dans un membre, et les nombres dans l'autre (règle 1).
2. On réduit chaque membre.
3. On isole $x$ en divisant par son coefficient (règle 2).
4. On vérifie la solution.

Exemple rédigé (cas simple)

Résoudre $3x + 5 = 17$. $$3x + 5 = 17$$ $$3x = 17 - 5 \quad\text{(on retire }5\text{ aux deux membres)}$$ $$3x = 12$$ $$x = \frac{12}{3} = 4 \quad\text{(on divise par }3\text{)}.$$ Vérification : $3\times 4 + 5 = 12 + 5 = 17$. ✓ La solution est $x = 4$.

Exemple rédigé (inconnue des deux côtés)

Résoudre $5x - 2 = 2x + 7$. $$5x - 2 = 2x + 7$$ $$5x - 2x = 7 + 2 \quad\text{(on retire }2x\text{ et on ajoute }2\text{ des deux côtés)}$$ $$3x = 9$$ $$x = 3.$$ Vérification : à gauche $5\times 3 - 2 = 13$ ; à droite $2\times 3 + 7 = 13$. ✓ La solution est $x = 3$.

5. Mettre un problème en équation#

Méthode

(1) Je choisis l'inconnue (« Soit $x$ le nombre cherché »). (2) Je traduis l'énoncé par une équation. (3) Je résous. (4) Je réponds à la question en français.

Exemple rédigé

« Je pense à un nombre, je le multiplie par $4$, j'ajoute $3$ et j'obtiens $23$. Quel est ce nombre ? » - Soit $x$ ce nombre. L'énoncé se traduit par : $4x + 3 = 23$. - Résolution : $4x = 20$, donc $x = 5$. - Réponse : le nombre cherché est $5$. (Vérification : $4\times 5 + 3 = 23$. ✓)

6. Pièges à éviter#

• Quand on « fait passer » un terme de l'autre côté, son signe change ($+5$ devient $-5$). C'est une conséquence de la règle 1 : ce n'est pas magique.
• À la dernière étape, on divise par le coefficient de $x$ : pour $3x = 12$, on écrit $x = \frac{12}{3}$, surtout pas $x = 12 - 3$.
• Toujours vérifier : c'est gratuit, et cela détecte la plupart des erreurs de calcul.

Checkpoint 6

Exercices 6.1 à 6.4 du fichier d'exercices (vérifier une solution, résoudre, mise en équation d'un problème).

S’entraîner — exercices 6.1 à 6.4

7Proportionnalité#

1. D'où l'on part#

La proportionnalité est partout : recettes, vitesses, prix, agrandissements… En 5ᵉ, tu reconnaissais une situation proportionnelle et tu appliquais des pourcentages. En 4ᵉ, on consolide la recherche d'une quatrième proportionnelle et on relie la proportionnalité à la géométrie (agrandissements, théorème de Thalès du chapitre 14).

2. Reconnaître une situation de proportionnalité#

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Ici, $\dfrac{5}{2} = \dfrac{7{,}5}{3} = \dfrac{12{,}5}{5} = 2{,}5$ : le coefficient est $2{,}5$ (le prix d'une unité). La situation est proportionnelle.

Sur un graphique : une situation est proportionnelle si et seulement si les points sont alignés avec l'origine (sur une droite qui passe par le point $(0\,;0)$).

3. Chercher une quatrième proportionnelle#

C'est le calcul du « nombre manquant » dans un tableau de proportionnalité. Trois procédures, toutes correctes — on choisit la plus pratique.

Énoncé. $4$ stylos identiques coûtent $6$ €. Combien coûtent $10$ stylos ?

Procédure 1 — retour à l'unité. Prix de $1$ stylo : $6\div 4 = 1{,}5$ €. Donc $10$ stylos : $10\times 1{,}5 = 15$ €.

Procédure 2 — coefficient de proportionnalité. On multiplie chaque nombre de stylos par $1{,}5$ : $10\times 1{,}5 = 15$ €.

Procédure 3 — produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les « produits en croix » sont égaux : $$\frac{x}{10} = \frac{6}{4} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{10\times 6}{4} = \frac{60}{4} = 15 \text{ €}.$$

Les trois donnent 15 €.

4. Les pourcentages#

Appliquer un pourcentage $p\%$, c'est multiplier par $\dfrac{p}{100}$.

Exemples rédigés

- $15\%$ de $80$ : $\dfrac{15}{100}\times 80 = 0{,}15\times 80 = 12$. - Augmenter $80$ € de $15\%$ : $80\times\left(1 + \dfrac{15}{100}\right) = 80\times 1{,}15 = 92$ €. - Diminuer $80$ € de $20\%$ : $80\times\left(1 - \dfrac{20}{100}\right) = 80\times 0{,}8 = 64$ €.

5. Proportionnalité et géométrie#

Lorsqu'on agrandit ou réduit une figure, toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre $k$ (le coefficient d'agrandissement) : c'est une situation de proportionnalité. Le théorème de Thalès (chapitre 14) repose entièrement sur cette idée. On y reviendra en détail.

6. Pièges à éviter#

• Additionner n'est pas multiplier : si une recette pour $4$ personnes demande $200$ g de farine, pour $6$ personnes ce n'est pas « $200 + 2$ » mais $200\times\dfrac{6}{4} = 300$ g.
• Deux hausses successives ne s'additionnent pas : $+10\%$ puis $+10\%$ ne fait pas $+20\%$ (on multiplie par $1{,}1$ deux fois, soit $\times 1{,}21$, donc $+21\%$).
• Un graphique « en droite » qui ne passe pas par l'origine n'est pas proportionnel.

Checkpoint 7

Exercices 7.1 à 7.4 du fichier d'exercices (reconnaître, quatrième proportionnelle, pourcentages, situation concrète).

S’entraîner — exercices 7.1 à 7.4

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8Notion de fonction#

1. D'où l'on part#

Beaucoup de situations relient deux grandeurs : le prix dépend de la quantité, la distance parcourue dépend de la durée, l'aire d'un carré dépend de son côté. Décrire proprement « comment l'une dépend de l'autre », c'est la notion de fonction. C'est une porte d'entrée vers les mathématiques du lycée.

2. Une idée simple : entrée → sortie#

Définition (intuitive)

Un processus qui, à chaque nombre d'entrée, associe un seul nombre de sortie est une fonction.

On peut voir une fonction comme une machine : $$\text{entrée } x \ \longrightarrow \ \boxed{\ \times 2 \ \text{puis} +1\ } \ \longrightarrow \ \text{sortie}.$$ Pour l'entrée $3$, la sortie est $3\times 2 + 1 = 7$.

3. Trois façons de décrire une fonction#

Une même fonction peut être donnée par :

• une formule : « la sortie vaut $2\times(\text{entrée}) + 1$ » ;
• un tableau de valeurs :

• un graphique : on place les points (entrée en abscisse, sortie en ordonnée) et on les relie.

4. Image et antécédent#

Définitions

- La sortie associée à une entrée s'appelle l'image de cette entrée. - Une entrée qui produit une sortie donnée s'appelle un antécédent de cette sortie.

Exemple

Avec la fonction ci-dessus : l'image de $3$ est $7$. Un antécédent de $7$ est $3$ (on a remonté la machine à l'envers).

Sens de lecture

« Image » va de l'entrée vers la sortie ; « antécédent » va de la sortie vers l'entrée. C'est la principale source de confusion : prends le temps de bien identifier ce qu'on te donne et ce qu'on te demande.

5. Lire sur un graphique#

• Pour trouver l'image d'un nombre $a$ : on part de $a$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée.
• Pour trouver un antécédent d'un nombre $b$ : on part de $b$ sur l'axe vertical, on se déplace horizontalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'abscisse.

6. Pièges à éviter#

• À une entrée correspond une seule sortie ; mais une même sortie peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun).
• Ne pas inverser image et antécédent : « l'image de $3$ » et « un antécédent de $3$ » sont deux questions différentes.

Checkpoint 8

Exercices 8.1 à 8.4 du fichier d'exercices (calculer une image, chercher un antécédent, passer formule ↔ tableau, lire un graphique).

S’entraîner — exercices 8.1 à 8.4

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9Statistiques : médiane et diagrammes circulaires#

1. D'où l'on part#

En 5ᵉ, tu calculais des effectifs, des fréquences et la moyenne d'une série. La moyenne peut être trompeuse lorsque quelques valeurs sont extrêmes. On introduit donc la médiane, un autre indicateur du « centre », et un nouvel outil de représentation : le diagramme circulaire.

2. La médiane#

Définition

La médiane d'une série ordonnée est une valeur qui partage la série en deux moitiés : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.

Méthode

On range d'abord les valeurs dans l'ordre croissant, puis : - si l'effectif est impair, la médiane est la valeur du milieu ; - si l'effectif est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.

Exemple (effectif impair)

Série : $3,\ 5,\ 8,\ 8,\ 12,\ 15,\ 20$ ($7$ valeurs). La valeur centrale est la $4^{\text{e}}$ : la médiane est $\boxed{8}$.

Exemple (effectif pair)

Série : $2,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9,\ 10,\ 12,\ 15$ ($8$ valeurs). Les deux valeurs centrales sont la $4^{\text{e}}$ et la $5^{\text{e}}$ : $7$ et $9$. Médiane $=\dfrac{7+9}{2} = 8$.

3. Médiane ou moyenne ?#

La moyenne tient compte de toutes les valeurs (et donc des valeurs extrêmes) ; la médiane est insensible aux extrêmes. Sur des salaires, par exemple, quelques très hauts salaires « tirent » la moyenne vers le haut, alors que la médiane décrit mieux le salaire « du milieu ».

4. Le diagramme circulaire#

Principe. Dans un diagramme circulaire (« camembert »), l'angle de chaque secteur est proportionnel à l'effectif qu'il représente. Le disque entier ($360°$) correspond à l'effectif total.

Méthode

Pour chaque catégorie : $$\text{angle} = \frac{\text{effectif de la catégorie}}{\text{effectif total}} \times 360°.$$

Exemple rédigé

Sport préféré de $30$ élèves.

Sport	Foot	Tennis	Natation	Autre	Total
Effectif	$12$	$9$	$6$	$3$	$30$
Angle	$144°$	$108°$	$72°$	$36°$	$360°$

Détail pour le foot : $\dfrac{12}{30}\times 360 = 0{,}4\times 360 = 144°$. (Vérification : $144+108+72+36 = 360°$. ✓) On trace ensuite chaque secteur au rapporteur.

5. Pièges à éviter#

• Toujours ranger la série avant de chercher la médiane. Oublier cette étape est l'erreur n°1.
• Médiane $\neq$ moyenne : ce sont deux indicateurs différents, qui peuvent donner des valeurs très éloignées.
• Pour un diagramme circulaire, vérifier que la somme des angles fait $360°$.

Checkpoint 9

Exercices 9.1 à 9.4 du fichier d'exercices (médiane effectif impair/pair, lecture, construction d'un diagramme circulaire).

S’entraîner — exercices 9.1 à 9.4

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10Probabilités#

1. D'où l'on part#

En 5ᵉ, tu plaçais la probabilité d'un événement sur une échelle de $0$ à $1$ et tu raisonnais sur des situations équiprobables. En 4ᵉ, on installe tout le vocabulaire, on calcule des probabilités et on introduit l'événement contraire.

2. Le vocabulaire#

Définitions

- Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à coup sûr (lancer un dé, tirer une carte…). - Les résultats possibles s'appellent les issues. - Un événement est un ensemble d'issues (par exemple « obtenir un nombre pair »). - Un événement est certain s'il se réalise toujours, impossible s'il ne se réalise jamais.

3. La probabilité d'un événement#

Propriété

La probabilité d'un événement est un nombre compris entre $0$ et $1$. - Probabilité $0$ : événement impossible. - Probabilité $1$ : événement certain. - Plus la probabilité est proche de $1$, plus l'événement est probable.

Cas d'équiprobabilité. Lorsque toutes les issues ont la même probabilité (dé équilibré, pièce non truquée…) : $$P(\text{événement}) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}.$$

Exemple rédigé (dé à 6 faces)

- $P(\text{obtenir } 4) = \dfrac{1}{6}$. - $P(\text{nombre pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ (favorables : $2,4,6$). - $P(\text{nombre} > 4) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ (favorables : $5,6$).

4. L'événement contraire#

Définition

L'événement contraire d'un événement $A$ est l'événement « $A$ ne se réalise pas ».

Propriété

$$P(\text{contraire de } A) = 1 - P(A).$$

Exemple

Avec le dé : $P(\text{obtenir un } 6) = \dfrac{1}{6}$, donc $$P(\text{ne pas obtenir } 6) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}.$$

Exemple rédigé (une urne)

Une urne contient $5$ boules rouges, $3$ bleues et $2$ vertes ($10$ boules au total, tirage au hasard). - $P(\text{rouge}) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$. - $P(\text{verte}) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$. - $P(\text{pas rouge}) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ (ou directement $\dfrac{5}{10}$ : les $3$ bleues $+$ $2$ vertes).

5. Pièges à éviter#

• Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ : un résultat comme $\dfrac{7}{6}$ signale forcément une erreur.
• Le calcul $\dfrac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$ n'est valable qu'en situation d'équiprobabilité.
• Bien compter toutes les issues possibles au dénominateur (ici $10$ boules, pas $3$ couleurs).

Checkpoint 10

Exercices 10.1 à 10.4 du fichier d'exercices (vocabulaire, calcul d'une probabilité, événement contraire, situation d'urne).

S’entraîner — exercices 10.1 à 10.4

11Grandeurs composées et conversions#

1. D'où l'on part#

En 5ᵉ, tu manipulais des longueurs, des aires, des volumes, des durées. Certaines grandeurs très utiles combinent deux autres grandeurs : une vitesse combine une distance et une durée, un débit combine un volume et une durée. Ce sont les grandeurs composées ; elles sont au programme de 4ᵉ et omniprésentes en physique.

2. La vitesse#

Définition

La vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue par la durée du parcours : $$v = \frac{d}{t}.$$

De cette égalité, on tire les deux autres formules : $$d = v\times t \qquad\text{et}\qquad t = \frac{d}{v}.$$

Exemple rédigé

Une voiture parcourt $150$ km en $2$ h. $$v = \frac{150}{2} = 75 \text{ km/h}.$$

Unités et conversion km/h ↔ m/s. L'unité dépend des unités de $d$ et $t$ : des km et des heures donnent des km/h ; des mètres et des secondes donnent des m/s. Pour passer de l'un à l'autre : $$\boxed{\ \text{km/h} \ \xrightarrow{\ \div 3{,}6\ } \ \text{m/s} \qquad \text{m/s} \ \xrightarrow{\ \times 3{,}6\ } \ \text{km/h}\ }$$

Pourquoi $3{,}6$ ? Parce que $1$ km $= 1000$ m et $1$ h $= 3600$ s, donc $1$ km/h $= \dfrac{1000}{3600}$ m/s $= \dfrac{1}{3{,}6}$ m/s.

Exemples

$90$ km/h $= 90\div 3{,}6 = 25$ m/s. $\quad$ $10$ m/s $= 10\times 3{,}6 = 36$ km/h.

3. Le débit#

Définition

Le débit est le quotient d'un volume écoulé par la durée d'écoulement : $$D = \frac{V}{t}.$$ Unités courantes : litres par minute (L/min), litres par seconde (L/s), mètres cubes par seconde (m³/s).

Exemple rédigé

Un robinet remplit un seau de $30$ L en $2$ min : $$D = \frac{30}{2} = 15 \text{ L/min}.$$

4. La masse volumique#

Définition

La masse volumique est le quotient de la masse d'un corps par son volume : $$\rho = \frac{m}{V}.$$ Unités courantes : grammes par centimètre cube (g/cm³), kilogrammes par mètre cube (kg/m³).

Exemple rédigé

Un objet de masse $200$ g occupe un volume de $250$ cm³ : $$\rho = \frac{200}{250} = 0{,}8 \text{ g/cm}^3.$$ Comme $0{,}8 < 1$ (la masse volumique de l'eau est $1$ g/cm³), cet objet flotte sur l'eau.

5. Méthode générale pour une grandeur composée#

1. J'identifie les deux grandeurs combinées et la formule ($v=\frac{d}{t}$, $D=\frac{V}{t}$, $\rho=\frac{m}{V}$…).
2. Je convertis si besoin pour que les unités soient cohérentes.
3. J'applique la formule (ou l'une de ses formes dérivées).
4. Je précise l'unité du résultat : c'est elle qui donne tout son sens à la valeur.

6. Pièges à éviter#

• Toujours vérifier la cohérence des unités avant de calculer : pour une vitesse en m/s, la distance doit être en mètres et la durée en secondes.
• $2$ h $30$ min, ce n'est pas $2{,}30$ h mais $2{,}5$ h (car $30$ min $= 0{,}5$ h). Convertir les minutes en fraction d'heure.
• L'unité fait partie de la réponse : « $75$ » seul ne veut rien dire ; « $75$ km/h » est une réponse.

Checkpoint 11

Exercices 11.1 à 11.4 du fichier d'exercices (vitesse, conversion km/h ↔ m/s, débit, masse volumique).

S’entraîner — exercices 11.1 à 11.4

12Théorème de Pythagore#

1. D'où l'on part#

Le théorème de Pythagore est l'un des résultats les plus importants du collège : il relie les longueurs des trois côtés d'un triangle rectangle. Il permet de calculer une longueur qu'on ne peut pas mesurer directement. Mais avant, il faut un nouvel outil de calcul : la racine carrée.

2. Outil préalable : la racine carrée#

Définition

La racine carrée d'un nombre positif $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré vaut $a$ : $$\sqrt{a} = b \quad\text{signifie}\quad b \geq 0 \ \text{ et } \ b^2 = a.$$

Exemples

$\sqrt{25} = 5$ car $5^2 = 25$. $\quad \sqrt{144} = 12$ car $12^2 = 144$.

Les carrés parfaits à connaître (carrés des entiers de $1$ à $12$) :

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$n^2$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144

Quand $a$ n'est pas un carré parfait, $\sqrt{a}$ a une écriture décimale infinie : on en donne une valeur approchée (souvent à la calculatrice) ou un encadrement. Par exemple $\sqrt{2}\approx 1{,}414$, et comme $1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2$, on a $1 < \sqrt{2} < 2$.

3. Le théorème de Pythagore#

Théorème

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, le plus long) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si $ABC$ est rectangle en $A$, alors : $$\boxed{BC^2 = AB^2 + AC^2}$$ ($BC$ est l'hypoténuse, opposée à l'angle droit en $A$).

4. Calculer la longueur de l'hypoténuse#

Exemple rédigé

$ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm. Calculer $BC$. $$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25.$$ $$BC = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}.$$

5. Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit#

Ici, on connaît l'hypoténuse et on cherche un autre côté : on soustrait.

Exemple rédigé

$ABC$ est rectangle en $A$ avec $BC = 13$ cm (hypoténuse) et $AB = 5$ cm. Calculer $AC$. $$BC^2 = AB^2 + AC^2 \ \Rightarrow\ AC^2 = BC^2 - AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144.$$ $$AC = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}.$$

6. La réciproque : prouver qu'un triangle est rectangle#

Le théorème fonctionne « dans l'autre sens » pour démontrer un angle droit.

Réciproque. Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle (et l'angle droit est opposé au plus grand côté).

Exemple rédigé

Le triangle $RST$ a pour côtés $RS = 9$, $ST = 12$, $RT = 15$. Est-il rectangle ? - Le plus grand côté est $RT$. On calcule séparément : $$RT^2 = 15^2 = 225 \qquad RS^2 + ST^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225.$$ - On constate $RT^2 = RS^2 + ST^2$. D'après la réciproque, $RST$ est rectangle en $S$ (angle opposé à $RT$).

7. Pièges à éviter#

• L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit, et c'est le plus long. Bien l'identifier avant d'écrire l'égalité.
• $AB^2 + AC^2 \neq (AB + AC)^2$ : on additionne les carrés, on n'ajoute pas d'abord les longueurs. Ex : $3^2 + 4^2 = 25$, alors que $(3+4)^2 = 49$.
• Pour la réciproque, comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres (pas n'importe quel côté).

Checkpoint 12

Exercices 12.1 à 12.4 du fichier d'exercices (racine carrée, hypoténuse, côté de l'angle droit, réciproque).

S’entraîner — exercices 12.1 à 12.4

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13Trigonométrie : le cosinus#

1. D'où l'on part#

Le théorème de Pythagore relie trois longueurs. Le cosinus relie une longueur et un angle dans un triangle rectangle. Avec lui, on peut calculer un angle à partir de longueurs, ou une longueur à partir d'un angle — très utile en géométrie comme en sciences.

2. Le vocabulaire (par rapport à un angle)#

Dans un triangle rectangle, on repère les côtés par rapport à un angle aigu choisi : - l'hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit (toujours le même) ; - le côté adjacent à l'angle : celui qui « borde » l'angle (autre que l'hypoténuse).

3. Définition du cosinus#

Définition

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient : $$\cos(\text{angle}) = \frac{\text{côté adjacent à l'angle}}{\text{hypoténuse}}.$$

Le cosinus d'un angle aigu est un nombre compris entre $0$ et $1$ (l'adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse).

4. Calculer une longueur#

Exemple rédigé

$ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\widehat{ABC} = 60°$ et l'hypoténuse $BC = 10$ cm. Calculer $AB$ (côté adjacent à l'angle $\widehat{B}$). $$\cos(\widehat{ABC}) = \frac{AB}{BC} \ \Rightarrow\ AB = BC \times \cos(60°) = 10 \times 0{,}5 = 5 \text{ cm}.$$ (On utilise $\cos(60°) = 0{,}5$.)

5. Calculer un angle#

Quand on connaît l'adjacent et l'hypoténuse, on obtient $\cos$ de l'angle, puis on « remonte » à l'angle avec la touche $\cos^{-1}$ (ou $\arccos$) de la calculatrice.

Exemple rédigé (valeur exacte)

$ABC$ rectangle en $A$, $AB = 3$ cm (adjacent à $\widehat{B}$), $BC = 6$ cm (hypoténuse). $$\cos(\widehat{ABC}) = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{6} = 0{,}5 \ \Rightarrow\ \widehat{ABC} = \cos^{-1}(0{,}5) = 60°.$$

Exemple rédigé (valeur approchée)

Si $\cos(\widehat{B}) = \dfrac{4}{7}\approx 0{,}571$, alors $$\widehat{B} = \cos^{-1}\!\left(\tfrac{4}{7}\right) \approx 55° \quad\text{(à l'unité près)}.$$

6. Méthode générale#

1. Je place l'angle concerné, j'identifie l'hypoténuse et le côté adjacent.
2. J'écris la relation $\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.
3. Selon l'inconnue : je calcule une longueur (multiplication) ou un angle (touche $\cos^{-1}$).
4. Je donne la valeur exacte si possible, sinon une valeur approchée arrondie.

7. Pièges à éviter#

• Le cosinus n'a de sens que dans un triangle rectangle.
• Le « côté adjacent » dépend de l'angle choisi : pour l'autre angle aigu, l'adjacent et l'opposé échangent leurs rôles.
• Pour trouver une longueur, on multiplie par le cosinus ; pour trouver un angle, on utilise $\cos^{-1}$. Ne pas confondre ces deux usages.

Checkpoint 13

Exercices 13.1 à 13.4 du fichier d'exercices (vocabulaire, calcul de longueur, calcul d'angle, problème).

S’entraîner — exercices 13.1 à 13.4

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14Proportionnalité en géométrie : Thalès, agrandissement et réduction#

1. D'où l'on part#

Au chapitre 7, la proportionnalité reliait des nombres. En géométrie, elle relie des longueurs. Le théorème de Thalès en est l'outil central : il donne des rapports de longueurs égaux dès qu'apparaissent des droites parallèles. On en déduit aussi tout ce qui concerne les agrandissements et réductions de figures.

2. La configuration « triangles emboîtés »#

On se place dans la situation suivante : $M$ est un point du côté $[AB]$, $N$ un point du côté $[AC]$, et la droite $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. Les triangles $AMN$ et $ABC$ sont alors « emboîtés ».

3. Le théorème de Thalès#

Théorème (configuration emboîtée)

Si $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ (avec $M\in[AB]$, $N\in[AC]$), alors les longueurs sont proportionnelles : $$\boxed{\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}}$$

C'est une égalité de trois rapports. On en utilise deux à la fois selon ce qu'on cherche.

4. Calculer une longueur avec Thalès#

Exemple rédigé

Dans le triangle $ABC$, $M\in[AB]$, $N\in[AC]$, $(MN)\parallel(BC)$. On donne $AM = 2$ cm, $AB = 5$ cm, $BC = 7{,}5$ cm. Calculer $MN$.

On utilise les rapports faisant intervenir $MN$ : $$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \ \Rightarrow\ \frac{2}{5} = \frac{MN}{7{,}5} \ \Rightarrow\ MN = \frac{2\times 7{,}5}{5} = \frac{15}{5} = 3 \text{ cm}.$$

5. Agrandissement et réduction#

Définition

Agrandir (ou réduire) une figure dans un rapport $k$, c'est multiplier toutes ses longueurs par le même nombre $k$ : - si $k > 1$ : agrandissement ; - si $0 < k < 1$ : réduction.

Propriété (effet sur les grandeurs)

Lorsqu'on multiplie les longueurs par $k$ :

Grandeur	est multipliée par
les longueurs	$k$
les aires	$k^2$
les volumes	$k^3$

Exemple (aire)

Un carré de côté $3$ cm a pour aire $9$ cm². Agrandi dans le rapport $k=2$, son côté devient $6$ cm et son aire $36$ cm². Or $36 = 9\times 4 = 9\times 2^2$ : l'aire a bien été multipliée par $k^2 = 4$.

Exemple (volume)

Un cube d'arête $2$ cm a pour volume $8$ cm³. Agrandi dans le rapport $k=3$, son arête devient $6$ cm et son volume $216$ cm³. Or $216 = 8\times 27 = 8\times 3^3$ : le volume a été multiplié par $k^3 = 27$.

6. Pièges à éviter#

• Pour appliquer Thalès, il faut des droites parallèles : sans parallélisme, pas d'égalité des rapports.
• Écrire les rapports dans le bon sens : chaque rapport compare deux longueurs « qui se correspondent » (côté du petit triangle sur côté du grand). Toujours respecter le même ordre.
• Aires et volumes ne se multiplient pas par $k$ mais par $k^2$ et $k^3$. C'est une erreur très fréquente : doubler les longueurs quadruple l'aire.

Checkpoint 14

Exercices 14.1 à 14.4 du fichier d'exercices (Thalès calcul de longueur, agrandissement/réduction, effet sur aire, effet sur volume).

S’entraîner — exercices 14.1 à 14.4

15La translation#

1. D'où l'on part#

En 5ᵉ, tu connaissais deux transformations : la symétrie axiale (pliage le long d'un axe) et la symétrie centrale (demi-tour autour d'un point). En 4ᵉ, on en ajoute une troisième, qui correspond à un glissement : la translation. C'est elle qui engendre les frises.

2. Définition#

Définition

Une translation fait glisser toute la figure : - dans une direction donnée, - dans un sens donné, - d'une longueur donnée.

Ces trois informations sont représentées par une flèche (on parle de « translation qui transforme un point $A$ en un point $B$ », la flèche allant de $A$ vers $B$). Pour construire l'image d'un point $M$, on lui fait subir exactement le même glissement que celui qui mène $A$ sur $B$.

Image intuitive

Tous les points se déplacent « en bloc », comme un tapis qu'on pousse sans le tourner ni le déformer : même direction, même sens, même distance pour tout le monde.

3. Propriétés (ce que la translation conserve)#

Propriété

Une translation conserve : - les longueurs (une figure et son image sont superposables) ; - les angles ; - le parallélisme et l'alignement ; - les aires.

Une figure et son image par une translation sont donc identiques (mêmes dimensions, même forme) : seule leur position change. On dit que la translation est une isométrie (elle ne déforme pas).

4. Construire l'image d'une figure#

Pour obtenir l'image d'une figure, on construit l'image de ses points clés (sommets) par le même glissement, puis on relie ces images dans le même ordre. Comme les longueurs et les angles sont conservés, l'image a exactement la même forme.

5. Translations, frises et pavages#

En répétant une même translation, on engendre une frise : un motif qui se reproduit à intervalles réguliers le long d'une bande. En combinant des translations dans deux directions, on pave le plan (carrelages, papiers peints…). Reconnaître la translation qui transforme un motif en le motif voisin, c'est comprendre la structure de la frise ou du pavage.

6. Pièges à éviter#

• Une translation ne tourne pas la figure et ne la retourne pas (contrairement aux symétries) : l'orientation est conservée.
• Le même glissement s'applique à tous les points : on ne peut pas déplacer un sommet « un peu plus » qu'un autre.
• Bien distinguer les trois transformations : symétrie axiale (miroir), symétrie centrale (demi-tour), translation (glissement).

Checkpoint 15

Exercices 15.1 à 15.4 du fichier d'exercices (construire une image, propriétés conservées, reconnaître une translation, frises/pavages).

S’entraîner — exercices 15.1 à 15.4

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16Géométrie dans l'espace#

1. D'où l'on part#

En 5ᵉ, tu décrivais des solides (pavé droit, cylindre), tu en traçais des patrons et des perspectives. En 4ᵉ, on repère un point dans un pavé droit à l'aide de trois nombres, et on découvre deux nouveaux solides : la pyramide et le cône, avec leurs volumes.

2. Se repérer dans un pavé droit#

Sur un pavé droit, on choisit un sommet comme origine et trois arêtes comme axes. Un point se repère alors par trois coordonnées : - l'abscisse (déplacement sur la longueur), - l'ordonnée (déplacement sur la largeur), - l'altitude (déplacement sur la hauteur).

Exemple

Un point de coordonnées $(4\,;3\,;2)$ s'obtient en partant de l'origine, en avançant de $4$ (abscisse), puis de $3$ (ordonnée), puis en montant de $2$ (altitude). Ces trois nombres généralisent à l'espace le repérage du plan vu les années précédentes.

3. La pyramide#

Description. Une pyramide a pour base un polygone et un sommet (l'apex) relié à tous les sommets de la base par des faces triangulaires. La hauteur est la distance du sommet au plan de la base.

Patron. Le patron d'une pyramide est constitué du polygone de base et de ses faces triangulaires repliées autour de lui.

Volume. $$\boxed{V_{\text{pyramide}} = \frac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h}$$ où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur.

Exemple rédigé

Pyramide à base carrée de côté $6$ cm et de hauteur $10$ cm. $$\mathcal{B} = 6\times 6 = 36 \text{ cm}^2 \quad\Rightarrow\quad V = \frac{1}{3}\times 36\times 10 = \frac{360}{3} = 120 \text{ cm}^3.$$

4. Le cône de révolution#

Description. Un cône de révolution a pour base un disque et un sommet situé à la verticale du centre du disque. On l'obtient en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit.

Volume. $$\boxed{V_{\text{cône}} = \frac{1}{3}\times \pi r^2\times h}$$ où $r$ est le rayon de la base et $h$ la hauteur.

Exemple rédigé

Cône de rayon $3$ cm et de hauteur $7$ cm. $$V = \frac{1}{3}\times \pi\times 3^2\times 7 = \frac{1}{3}\times \pi\times 63 = 21\pi \approx 65{,}97 \text{ cm}^3 \approx 66 \text{ cm}^3.$$

5. Lien avec le chapitre 14#

Les formules de volume contiennent un produit de trois longueurs (d'où les cm³). C'est pourquoi un agrandissement de rapport $k$ multiplie les volumes par $k^3$ : on retrouve la propriété du chapitre 14.

6. Pièges à éviter#

• Ne pas oublier le facteur $\dfrac{1}{3}$ pour la pyramide et le cône (à la différence du prisme ou du cylindre, où le volume est simplement $\mathcal{B}\times h$).
• Dans la formule du cône, c'est le rayon au carré ($r^2$), pas le diamètre. Si l'énoncé donne le diamètre, le diviser par $2$ d'abord.
• Garder des unités cohérentes (toutes les longueurs dans la même unité) avant de calculer un volume.

Checkpoint 16

Exercices 16.1 à 16.4 du fichier d'exercices (repérage dans le pavé, volume d'une pyramide, volume d'un cône, problème dans l'espace).

S’entraîner — exercices 16.1 à 16.4

17Algorithmique et programmation#

1. D'où l'on part#

En 5ᵉ, tu as fait tes premiers pas avec Scratch : déplacer un lutin, tracer une figure. En 4ᵉ, on structure davantage les programmes avec des boucles, des tests et des variables. L'objectif n'est pas de devenir programmeur, mais de raisonner de façon logique et organisée — une compétence utile dans toutes les matières.

2. Algorithme et programme#

Définitions

- Un algorithme est une suite ordonnée d'instructions permettant de résoudre un problème. - Un programme est la traduction d'un algorithme dans un langage compris par la machine (ici, Scratch, où l'on assemble des blocs).

Un programme s'exécute dans l'ordre, de haut en bas, en suivant les blocs.

3. Les boucles (répéter)#

Une boucle permet de répéter des instructions sans les réécrire.

• Boucle bornée (« répéter $N$ fois ») : on connaît à l'avance le nombre de répétitions. répéter 4 fois avancer de 100 pas tourner de 90 degrés (Ce programme trace un carré.)

• Boucle non bornée (« répéter jusqu'à ») : on répète tant qu'une condition n'est pas remplie. répéter jusqu'à (score = 10) ajouter 1 au score

4. Les tests (si … alors)#

Un test (ou instruction conditionnelle) exécute des instructions seulement si une condition est vraie.

si (réponse = 7) alors
    dire "Bravo !"
sinon
    dire "Essaie encore"

La condition est une affirmation qui est soit vraie, soit fausse (par exemple « $\text{réponse} = 7$ » ou « $x > 0$ »).

5. Les variables#

Une variable est une « boîte » qui porte un nom et contient une valeur, que le programme peut lire et modifier.

mettre score à 0
...
ajouter 1 au score

Les variables servent à mémoriser un score, une position, un compteur, un résultat de calcul…

6. Événements et blocs personnalisés#

• Les événements déclenchent une partie du programme : « quand le drapeau vert est cliqué », « quand la touche espace est pressée ».
• Un bloc personnalisé regroupe une suite d'instructions sous un nouveau nom (l'équivalent d'une fonction). On l'écrit une fois, on l'appelle autant de fois qu'on veut. Cela évite les répétitions et rend le programme plus clair.

définir tracer_triangle
    répéter 3 fois
        avancer de 80 pas
        tourner de 120 degrés

Ensuite, appeler tracer_triangle trace un triangle équilatéral.

7. Pièges à éviter#

• L'ordre des instructions compte : intervertir deux blocs peut changer complètement le résultat.
• Bien distinguer « mettre la variable à une valeur » (on remplace) et « ajouter à la variable » (on cumule).
• Une boucle « répéter jusqu'à » dont la condition n'est jamais atteinte tourne indéfiniment : il faut s'assurer que la condition finira par devenir vraie.

Checkpoint 17

Exercices 17.1 à 17.4 du fichier d'exercices (lire un programme, boucle, test, variable / bloc personnalisé).

S’entraîner — exercices 17.1 à 17.4

Conclusion — Comment réviser efficacement#

Tu disposes maintenant d'un cours complet de 4ᵉ. Pour en tirer le meilleur :

1. Lis un chapitre, puis fais immédiatement son CHECKPOINT. La compréhension se vérifie en faisant, pas en relisant.
2. Reviens en arrière sans complexe. Beaucoup de chapitres s'appuient sur les précédents (le calcul relatif sert partout, la racine carrée sert pour Pythagore, la proportionnalité sert pour Thalès…). Si un point bloque, le prérequis est souvent dans un chapitre antérieur.
3. Apprends les encadrés ($\boxed{\ }$) : ce sont les définitions et propriétés à connaître par cœur.
4. Rédige tes solutions comme dans les « exemples rédigés » : une réponse en mathématiques, c'est un raisonnement écrit, pas seulement un résultat.
5. Relis les « pièges à éviter » avant un contrôle : ils concentrent les erreurs les plus fréquentes.

Bon travail, et bonne entrée en 4ᵉ !

À noter

Les exercices de tous les checkpoints se trouvent dans le fichier 4e_exercices.html, avec leurs corrigés détaillés.