Thème 1 — Priorités opératoires et nombres relatifs
Calcule. a) $5 + 3\times 4$ b) $-9 + 6$ c) $-5{,}6 - 3$ d) $-12 - (-2)$
Calcule en respectant les priorités. a) $12 - (5{,}3 + 3{,}8)$ b) $16{,}2 - 9{,}4 + 3{,}8$ c) $-7 + 3 + (-5) - (-4)$ d) $(-2{,}5 + 4) - (1{,}5 - 3)$
On applique le programme : « ajouter 3, puis multiplier par 9, puis enlever 5 ». a) Écris l'expression correspondante pour un nombre de départ égal à $7$, puis calcule. b) Recommence avec le nombre de départ $-1$.
Au départ, un sous-marin est à la surface ($0$ m). Il plonge à $-32$ m, remonte de $18$ m, replonge de $7$ m, puis remonte de $15$ m. a) À quelle profondeur se trouve-t-il à la fin ? b) De combien de mètres a varié sa profondeur entre son point le plus bas et sa position finale ?
Thème 2 — Fractions
a) Simplifie $\dfrac{12}{39}$. b) Simplifie $\dfrac{12}{18}$. c) Donne l'écriture décimale de $\dfrac{23}{100}$. d) Donne l'écriture fractionnaire de $2{,}5$.
Range dans l'ordre croissant : $\dfrac{1}{3}\ ;\ \dfrac{5}{6}\ ;\ 2\ ;\ \dfrac{5}{3}$.
Calcule et simplifie le résultat si possible. a) $\dfrac{11}{9} - \dfrac{1}{3}$ b) $\dfrac{5}{12} + \dfrac{4}{3}$ c) $\dfrac{23}{10} - \dfrac{5}{10}$ d) $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}$
Dans une classe, $\dfrac{1}{4}$ des élèves étudient l'allemand et $\dfrac{1}{3}$ étudient l'espagnol ; les autres étudient l'italien. a) Quelle fraction des élèves étudie allemand ou espagnol ? b) Quelle fraction étudie l'italien ? c) La classe compte $24$ élèves : combien étudient l'italien ?
Thème 3 — Divisibilité et nombres premiers
Parmi $2,\ 3,\ 5,\ 9,\ 10$, détermine les diviseurs de : a) $456$ b) $1\,980$
$147$ élèves sont répartis en équipes de $16$. a) Combien d'équipes complètes peut-on former ? b) Combien d'élèves manquerait-il pour former une équipe complète de plus ?
a) Décompose $84$ en produit de facteurs premiers. b) À l'aide d'une décomposition en facteurs premiers, simplifie $\dfrac{153}{85}$.
Un serveur doit répartir $36$ croissants et $24$ pains au chocolat dans des corbeilles identiques (même contenu, tout est utilisé). a) Quels nombres de corbeilles sont possibles ? b) Donne la répartition correspondant au plus grand nombre de corbeilles.
Thème 4 — Calcul littéral
Simplifie l'écriture. a) $5\times a + 3\times b$ b) $2\times \ell + 2\times L$ c) $c\times c\times c$ d) $3{,}2\times x\times 3\times x$
Réduis. a) $5{,}2x + 3{,}4x$ b) $2{,}4x - 2{,}1x$ c) $7x + 2 + 3x$ d) $4a + 5 - a - 2$
Programme : « choisir $x$, ajouter 2, multiplier par 3, enlever 6 ». a) Exprime le résultat en fonction de $x$ et réduis-le. b) Que vaut le résultat pour $x = 8$ ? Pour $x = -1$ ?
a) Écris la forme générale d'un nombre entier pair, puis celle d'un nombre impair. b) Démontre que la somme de deux entiers consécutifs est toujours un nombre impair.
Thème 5 — Proportionnalité, ratios, pourcentages, échelles
Une denrée coûte $3$ € le kilogramme. a) Prix de $4$ kg ? b) Prix de $0{,}5$ kg ? c) Quelle masse obtient-on pour $9$ € ?
Partage $1{,}2$ kg de pâte en trois parts selon le ratio $1:2:3$.
a) Un article coûte $80$ €. Calcule son prix après une remise de $25\%$. b) Après une remise de $10\%$, un autre article est affiché $45$ €. Quel était son prix initial ?
Sur une carte à l'échelle $\dfrac{1}{25\,000}$, deux villages sont distants de $8$ cm. a) Quelle est la distance réelle, en km ? b) Une route mesure $5$ km en réalité. Quelle est sa longueur sur la carte ?
Thème 6 — Statistiques et probabilités
Voici cinq notes : $8\ ;\ 12\ ;\ 14\ ;\ 10\ ;\ 16$. Calcule la moyenne.
On a relevé le sport principal d'élèves d'un collège.
| Sport | Football | Tennis | Basket-ball | Athlétisme | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 26 | 15 | 23 | ? | 80 |
a) Quel est l'effectif de l'athlétisme ? b) Quelle est la fréquence du football, en pourcentage ?
Pointures relevées dans une classe :
| Pointure | 36 | 37 | 38 | 39 |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 5 | 6 | 5 |
Calcule la pointure moyenne (arrondie au dixième).
Une urne contient $3$ boules vertes, $4$ jaunes et $5$ rouges. On en tire une au hasard. a) Probabilité de tirer une verte ? b) Probabilité de tirer une jaune ? c) Place sur une échelle de $0$ à $1$ les événements « tirer une verte », « une jaune », « une rouge ». d) Quel est l'événement le plus probable ?
Thème 7 — Grandeurs et mesures
Convertis. a) $350\,000$ m en km b) $2{,}8$ h en h et min c) $33$ cL en cm³ d) $1\,500$ cm³ en L
Calcule l'aire de la figure : un rectangle de longueur $8$ cm et de largeur $5$ cm, surmonté d'un demi-disque dont le diamètre est égal à la largeur du rectangle ($5$ cm). Donne la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième de cm².
Calcule, pour chaque solide, son volume (valeur exacte et, si besoin, arrondie au cm³). a) Un pavé droit à base carrée $6$ cm $\times\ 6$ cm et de hauteur $10$ cm. b) Un cylindre de rayon $4$ cm et de hauteur $10$ cm.
Un train part à $14$ h $35$ ; le trajet dure $2$ h $50$ min. a) À quelle heure arrive-t-il ? b) Un second train doit arriver à la même heure, mais son trajet dure $3$ h $15$ min. À quelle heure doit-il partir ?
Thème 8 — Géométrie plane
Dans un triangle $ABC$, $\widehat{A} = 130°$ et $\widehat{B} = 30°$. Calcule $\widehat{C}$.
Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent : a) $3$ cm, $4$ cm, $9$ cm ? b) $5$ cm, $6$ cm, $8$ cm ? Justifie chaque réponse.
Deux droites $(d)$ et $(d')$ sont coupées par une sécante. a) Les angles alternes-internes mesurent $58°$ et $58°$. Que peut-on dire de $(d)$ et $(d')$ ? b) Et s'ils mesuraient $58°$ et $62°$ ?
$ABCD$ est un quadrilatère dont les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu commun $O$. Démontre que $ABCD$ est un parallélogramme, en précisant la propriété utilisée.
Thème 9 — Algorithmique (Scratch)
Complète le script pour tracer un carré de côté $80$ pixels :
répéter ... fois
avancer de ...
tourner de ... degrés
Que dessine le lutin avec ce script ? Justifie.
répéter 3 fois
avancer de 100
tourner de 120 degrés
Écris un script qui trace un rectangle de longueur $120$ et de largeur $60$.
Écris un script qui fait avancer le lutin de $10$ tant qu'il n'a pas atteint le bord, puis lui fait dire « Stop ». (Utilise une boucle « répéter jusqu'à … ».)
Corrigés#
Vérifie ta méthode autant que ton résultat. Un bon réflexe : contrôler la vraisemblance (ordre de grandeur, signe, unité).
Thème 1
a) $5+12 = \mathbf{17}$ ; b) $\mathbf{-3}$ ; c) $-5{,}6+(-3)=\mathbf{-8{,}6}$ ; d) $-12+2=\mathbf{-10}$.
a) $12-9{,}1=\mathbf{2{,}9}$ ; b) $6{,}8+3{,}8=\mathbf{10{,}6}$ ; c) $-7+3-5+4=\mathbf{-5}$ ; d) $1{,}5-(-1{,}5)=\mathbf{3}$.
a) $(7+3)\times 9 - 5 = 90-5 = \mathbf{85}$ ; b) $(-1+3)\times 9 - 5 = 18-5 = \mathbf{13}$.
a) $0-32+18-7+15 = \mathbf{-6}$, soit 6 m sous la surface ; b) point le plus bas $-32$ m, position finale $-6$ m : variation $-6-(-32) = \mathbf{+26}$ m (il est remonté de $26$ m).
Thème 2
a) $\dfrac{4\times 3}{13\times 3}=\mathbf{\dfrac{4}{13}}$ ; b) $\mathbf{\dfrac{2}{3}}$ ; c) $\mathbf{0{,}23}$ ; d) $\mathbf{\dfrac{5}{2}}$.
Au dénominateur $6$ : $\dfrac{2}{6}\,;\,\dfrac{5}{6}\,;\,\dfrac{12}{6}\,;\,\dfrac{10}{6}$ → ordre croissant : $\mathbf{\dfrac{1}{3} < \dfrac{5}{6} < \dfrac{5}{3} < 2}$.
a) $\dfrac{11}{9}-\dfrac{3}{9}=\mathbf{\dfrac{8}{9}}$ ; b) $\dfrac{5}{12}+\dfrac{16}{12}=\dfrac{21}{12}=\mathbf{\dfrac{7}{4}}$ ; c) $\dfrac{18}{10}=\mathbf{\dfrac{9}{5}}$ ; d) $\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{4}=\mathbf{\dfrac{1}{4}}$.
a) $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{4}{12}=\mathbf{\dfrac{7}{12}}$ ; b) $1-\dfrac{7}{12}=\mathbf{\dfrac{5}{12}}$ ; c) $\dfrac{5}{12}\times 24 = \mathbf{10}$ élèves.
Thème 3
a) $456$ : pair → 2 ; somme des chiffres $15$ (multiple de 3, pas de 9) → 3. Diviseurs : 2 et 3. b) $1\,980$ : pair → 2 ; somme $18$ (multiple de 3 et 9) → 3 et 9 ; se termine par 0 → 5 et 10. Diviseurs : 2, 3, 5, 9 et 10.
$147 = 16\times 9 + 3$. a) 9 équipes complètes ; b) reste $3$, il manque $16-3 = \mathbf{13}$ élèves.
a) $84 = 2^2\times 3\times 7$ ; b) $153 = 3^2\times 17$ et $85 = 5\times 17$ donc $\dfrac{153}{85}=\dfrac{3^2}{5}=\mathbf{\dfrac{9}{5}}$.
Le nombre de corbeilles doit diviser $36$ et $24$ (diviseur commun). Diviseurs communs : $1, 2, 3, 4, 6, 12$. a) corbeilles possibles : 1, 2, 3, 4, 6 ou 12 ; b) maximum 12 corbeilles, chacune contenant 3 croissants et 2 pains au chocolat.
Thème 4
a) $\mathbf{5a+3b}$ ; b) $\mathbf{2\ell + 2L}$ ; c) $\mathbf{c^3}$ ; d) $3{,}2\times 3\times x\times x = \mathbf{9{,}6x^2}$.
a) $\mathbf{8{,}6x}$ ; b) $\mathbf{0{,}3x}$ ; c) $\mathbf{10x+2}$ ; d) $\mathbf{3a+3}$.
a) $(x+2)\times 3 - 6 = 3x+6-6 = \mathbf{3x}$ ; b) pour $x=8$ : $\mathbf{24}$ ; pour $x=-1$ : $\mathbf{-3}$.
a) pair : $\mathbf{2n}$ ; impair : $\mathbf{2n+1}$ (avec $n$ entier) ; b) deux entiers consécutifs : $n$ et $n+1$. Leur somme : $n+(n+1) = 2n+1$, qui est de la forme « pair $+1$ » : c'est un nombre impair. CQFD.
Thème 5
a) $\mathbf{12}$ € ; b) $\mathbf{1{,}5}$ € ; c) $9\div 3 = \mathbf{3}$ kg.
$1+2+3 = 6$ parts ; une part $= 1\,200\div 6 = 200$ g. Parts : 200 g, 400 g et 600 g.
a) remise $80\times 0{,}25 = 20$ € → prix 60 € ; b) $45$ € représentent $90\%$ du prix initial : $45 \div 0{,}9 = \mathbf{50}$ €.
a) $8\ \text{cm}\times 25\,000 = 200\,000$ cm $= 2\,000$ m $= \mathbf{2}$ km ; b) $5$ km $= 500\,000$ cm ; $500\,000 \div 25\,000 = \mathbf{20}$ cm.
Thème 6
$(8+12+14+10+16)\div 5 = 60\div 5 = \mathbf{12}$.
a) $80-(26+15+23) = 80-64 = \mathbf{16}$ ; b) $\dfrac{26}{80} = 0{,}325 = \mathbf{32{,}5\%}$.
somme $= 36\times 4 + 37\times 5 + 38\times 6 + 39\times 5 = 144+185+228+195 = 752$ ; effectif total $20$ ; moyenne $= 752\div 20 = \mathbf{37{,}6}$.
Total $= 12$ boules. a) $\dfrac{3}{12}=\mathbf{\dfrac{1}{4}}$ ; b) $\dfrac{4}{12}=\mathbf{\dfrac{1}{3}}$ ; c) verte $\dfrac{1}{4}=0{,}25$, jaune $\dfrac{1}{3}\approx 0{,}33$, rouge $\dfrac{5}{12}\approx 0{,}42$ (placées dans cet ordre entre $0$ et $1$) ; d) l'événement « tirer une rouge » est le plus probable.
Thème 7
a) $\mathbf{350}$ km ; b) $0{,}8\times 60 = 48$ → 2 h 48 min ; c) $1$ cL $= 10$ cm³ donc $33$ cL $= \mathbf{330}$ cm³ ; d) $\mathbf{1{,}5}$ L.
Rectangle : $8\times 5 = 40$ cm². Demi-disque, rayon $2{,}5$ cm : $\dfrac{\pi\times 2{,}5^2}{2} = 3{,}125\pi$ cm². Aire totale $= 40 + 3{,}125\pi \approx \mathbf{49{,}8}$ cm².
a) $6\times 6\times 10 = \mathbf{360}$ cm³ ; b) $\pi\times 4^2\times 10 = 160\pi \approx \mathbf{502{,}7}$ cm³.
a) $35+50 = 85$ min $= 1$ h $25$ min ; $14$ h $+ 2$ h $+ 1$ h $25 = \mathbf{17\ \text{h}\ 25}$ ; b) départ $= 17$ h $25 - 3$ h $15 = \mathbf{14\ \text{h}\ 10}$.
Thème 8
$\widehat{C} = 180° - 130° - 30° = \mathbf{20°}$.
a) Non : $3+4 = 7 < 9$ (le plus grand côté dépasse la somme des deux autres) ; b) Oui : le plus grand côté $8$ vérifie $8 < 5+6 = 11$.
a) Les angles alternes-internes sont égaux → $(d)$ et $(d')$ sont parallèles ; b) ils sont différents → $(d)$ et $(d')$ ne sont pas parallèles.
$O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$ : les diagonales se coupent en leur milieu. Or un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme (propriété caractéristique). Donc $ABCD$ est un parallélogramme. (On peut aussi dire : $C$ est le symétrique de $A$ et $D$ celui de $B$ par rapport à $O$ ; la symétrie centrale conserve les longueurs et le parallélisme, d'où des côtés opposés parallèles et de même longueur.)
Thème 9
répéter 4 fois
avancer de 80
tourner de 90 degrés
Un triangle équilatéral de côté $100$ : le lutin trace 3 côtés égaux en tournant de $120°$ à chaque sommet (l'angle extérieur d'un triangle équilatéral).
répéter 2 fois
avancer de 120
tourner de 90 degrés
avancer de 60
tourner de 90 degrés
répéter jusqu'à <bord ? touché>
avancer de 10
dire « Stop »